Lũy thừa

Lũy thừa một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân có b thừa số a nhân với nhau. Lũy thừa ký hiệu là a^b, đọc là lũy thừa bậc b của a, số a gọi là cơ số, số b gọi là số mũ.

Phép toán ngược với phép tính lũy thừa là phép khai căn. Lũy thừa (từ Hán-Việt: 累乘) có nghĩa là “nhân chồng chất lên”.

Đặc biệt

a² còn gọi là “a bình phương”;
a³ còn gọi là “a lập phương”.

Lũy thừa với số mũ nguyên

Lũy thừa của không và một

{\displaystyle 0^{n}=0\,}.
{\displaystyle 1^{n}=1\,}.

Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Trong trường hợp b = n là số nguyên dương, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

{\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\cdots \times a} _{n}}

Các tính chất quan trong nhất của lũy thừa với số mũ nguyên dương m, n là

{\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\times a^{n}}
{\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}} với mọi a ≠ 0
{\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}}
{\displaystyle a^{m^{n}}=a^{(m^{n})}}
{\displaystyle (a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}}
{\displaystyle ({\frac {a}{b}})^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}

Đặc biệt, ta có:

{\displaystyle a^{1}=a}

Trong khi các phép cộng và phép nhân có tính chất giao hoán, phép tính lũy thừa không có tính giao hoán.

Tương tự các phép cộng và nhân có tính kết hợp, còn phép tính lũy thừa thì không.. Khi không có dấu ngoặc, thứ tự tính của các lũy thừa là từ trên xuống, chứ không phải là từ dưới lên:

{\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}=a^{(b\cdot c)}=a^{b\cdot c}}

Lũy thừa với số mũ 0

Lũy thừa với số mũ 0 của số a khác không được quy ước bằng 1.

{\displaystyle a^{0}=1}

Chứng minh

{\displaystyle 1={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n-n}=a^{0}}

Lũy thừa với số mũ nguyên âm

Lũy thừa của a với số mũ nguyên âm m, trong đó ({\displaystyle m=-n}) a khác không và n là số nguyên dương là:

{\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}.

Ví dụ

{\displaystyle 3^{-4}={\frac {1}{3^{4}}}={\frac {1}{3.3.3.3}}={\frac {1}{81}}}.

Cách suy luận ra “lũy thừa với số mũ nguyên âm” từ “lũy thừa với số mũ không”:

{\displaystyle a^{0}=a^{n-n}={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n}.{\frac {1}{a^{n}}}=a^{n}.a^{-n}}

Trường hợp đặc biệt, lũy thừa của số khác không a với số mũ −1 là số nghịch đảo của nó.

{\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}.}

Lũy thừa của số thực dương với số mũ thực

Căn bậc n của một số thực dương

Một căn bậc n của số a là một số x sao cho xn = a.

Nếu a là số thực dương, n là số nguyên dương, x không âm thì có đúng một số thực dương x sao cho xn = a.

Số x này được gọi là căn số học bậc n của a.Nó được ký hiệu là n√a, trong đó √  là ký hiệu căn.

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ của số thực dương

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ tối giản m/n (m, n là số nguyên, trong đó n dương), của số thực dương a được định nghĩa là

{\displaystyle a^{m/n}=\left(a^{m}\right)^{1/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}

định nghĩa này có thể mở rộng cho các số thực âm mỗi khi căn thức là có nghĩa.